Question

10．函数f（x）=（sinωx+cosωx）²+2$\sqrt{3}$cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{3}$．
（1）求ω；
（2）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位长度得到，求函数y=g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+1$+\sqrt{3}$，（1）由题意和周期公式可得$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{2π}{3}$，解方程可得；
（2）由图象变换可得y=g（x）=2sin（3x-$\frac{7π}{6}$）+1$+\sqrt{3}$，解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{7π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函数的单调递增区间．

解答 解：由三角函数公式化简可得f（x）=（sinωx+cosωx）²+2$\sqrt{3}$cos²ωx
=sin²ωx+cos²ωx+2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx
=1+2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx
=1+sin2ωx+2$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2ωx}{2}$
=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx+1$+\sqrt{3}$
=2（$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx）+1$+\sqrt{3}$
=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+1$+\sqrt{3}$；
（1）由题意和周期公式可得$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{2π}{3}$，解得ω=$\frac{3}{2}$；
（2）由（1）可知f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）+1$+\sqrt{3}$，
由图象变换可得y=g（x）=2sin[3（x-$\frac{π}{2}$）+$\frac{π}{3}$]+1$+\sqrt{3}$
=2sin（3x-$\frac{7π}{6}$）+1$+\sqrt{3}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{7π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{2π}{9}$≤x≤$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{5π}{9}$，
∴函数g（x）的单调递增区间为：[$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{2π}{9}$，$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{5π}{9}$]（k∈Z）．

点评 本题考查三角恒等变换，涉及函数的周期性和单调性，化解析式为最简是解决问题的关键，属基础题．