Question

19．如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示）．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求证：BD∥平面PEC；
（3）求证：AE⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）结合三视图，得到几何体的相关棱长，求四棱锥P-ABCD的底面面积和高，然后求出体积；
（2）连接AC交BD于O点，取PC中点F，连接OF，要证明BD∥平面PEC，只需证明BD平行平面PEC内的直线EF即可；
（3）要证AE⊥平面PBG，只需证明PB⊥AE，BC⊥AE即可得证．

解答 （本题满分14分）
解：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，
且PA=4$\sqrt{2}$，BE=2$\sqrt{2}$，AB=AD=CD=CB=4，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$PA×S_ABCD=$\frac{1}{3}$×4$\sqrt{2}$×4×4=$\frac{64\sqrt{2}}{3}$．…（4分）
（2）证明：连结AC交BD于O点，取PC中点F，连结OF，
∵EB∥PA，且EB=$\frac{1}{2}$PA，又OF∥PA，且OF=$\frac{1}{2}$PA，
∴EB∥OF，且EB=OF，
∴四边形EBOF为平行四边形，
∴EF∥BD．又EF?平面PEC，BD?平面PEC，所以BD∥平面PEC．…（9分）
（3）∵$\frac{EB}{AB}=\frac{BA}{PA}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，∠EBA=∠BAP=90°，
∴△EBA∽△BAP，
∴∠PBA=∠BEA，∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°，
∴PB⊥AE．
又∵BC⊥平面APEB，
∴BC⊥AE，
∴AE⊥平面PBG，…（14分）

点评 本题考查三视图，几何体的条件，直线与平面垂直和平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．