Question

14．已知函数f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+1．
（1）求f（x）的值域；
（2）写出f（x）的单调增区间；
（3）若x∈[0，π]，求使得f（x）=1成立的x的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，利用正弦函数的图象即可求得值域．
（2）由$-\frac{\;π\;}{2}+2kπ\;≤\;2x+\frac{\;π\;}{6}\;≤\;\frac{\;π\;}{2}+2kπ$，（k∈Z），即可求得f（x）的单调增区间．
（3）由f（x）=1，得$sin（2x+\frac{\;π\;}{6}）=-\frac{1}{2}$，由x∈[0，π]，可得$\frac{\;π\;}{6}≤\;2x+\frac{\;π\;}{6}\;≤\;2π\;+\frac{\;π\;}{6}$，可求$2x+\frac{\;π\;}{6}=\frac{\;7π\;}{6}$或$\frac{\;11π\;}{6}$，从而解得x的值．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{3}{2}=sin（2x+\frac{\;π\;}{6}）+\frac{3}{2}$．…（2分）
∴f （x）的值域为$[\frac{1}{2}，\frac{5}{2}]$．…（4分）
（2）由$-\frac{\;π\;}{2}+2kπ\;≤\;2x+\frac{\;π\;}{6}\;≤\;\frac{\;π\;}{2}+2kπ$（k∈Z），…（6分）
得$-\frac{\;π\;}{3}+kπ\;≤\;x\;≤\;\frac{\;π\;}{6}+kπ$（k∈Z）．
∴f（x）的单调增区间为 $[-\frac{\;π\;}{3}+kπ\;，\;\frac{\;π\;}{6}+kπ]$（k∈Z）．…（8分）
（3）由f（x）=1，得$sin（2x+\frac{\;π\;}{6}）=-\frac{1}{2}$．…（10分）
∵x∈[0，π]，∴$\frac{\;π\;}{6}≤\;2x+\frac{\;π\;}{6}\;≤\;2π\;+\frac{\;π\;}{6}$．…（12分）
∴$2x+\frac{\;π\;}{6}=\frac{\;7π\;}{6}$或$\frac{\;11π\;}{6}$．
∴$x=\frac{\;π\;}{2}$或$\frac{\;5π\;}{6}$．…（14分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．