Question

9．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x+$\frac{1}{2}$，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用三角函数的周期性及其求法即可得解．
（2）根据（1）中函数的解析式及x∈[0，π]，求出相位角的范围，结合正弦函数的单调性，可得f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）当x∈[0，π]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]
∵2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]和[$\frac{3π}{2}$，$\frac{11π}{6}$]时，函数为增函数，
此时x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]或x∈[$\frac{5π}{6}$，π]，
故当x∈[0，π]时，f（x）的单调递增区间为[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]和[$\frac{5π}{6}$，π]．

点评 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．