Question

17．在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=a+4t}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t为参数，a∈R）．
（1）写出曲线C₁的直角坐标方程；
（2）若曲线C₁与C₂有两个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），化为ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出．
（2）直线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=a+4t}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t为参数，a∈R），消去参数t化为x=a+y．代入圆的方程可得△＞0，解出即可．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），化为ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴x²+y²=2x+2y，配方为（x-1）²+（y-1）²=2；
（2）曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=a+4t}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t为参数，a∈R），消去参数t化为x=a+y．
代入圆的方程化为：2x²-（4+2a）x+a²+2a=0，
∵曲线C₁与C₂有两个不同的交点，
∴△=（4+2a）²-8（a²+2a）＞0，
化为a²＜4，
解得-2＜a＜2．
∴实数a的取值范围是（-2，2）．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交问题转化为一元二次的判别式满足的条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．