Question

4．已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，cosx），f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+2m-1（x，m∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最小值为5，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先进行数量积的坐标运算，并应用二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式便可求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，从而得出f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{6}$）+2m，根据函数y=sinx的对称轴为x=$\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，解出x即得f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）由x的范围便可求出2x+$\frac{π}{6}$的范围：$（2x+\frac{π}{6}）∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，从而得到f（x）的最小值-1+2m=5，解出m即可．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\sqrt{3}sinxcosx+co{s}^{2}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}$=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$；
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+2m$；
令2x$+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z；
∴f（x）的对称轴方程为：x=$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z；
（Ⅱ）x∈$[0，\frac{π}{2}]$；
∴$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$；
∴2x$+\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，f（x）_min=2$•（-\frac{1}{2}）$+2m=5；
∴m=3．

点评 考查数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，以及正弦函数的对称轴，正弦函数在闭区间上的最．