Question

15．已知函数f（x）=|x-m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[-1，5]
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若实数a、b、c满足a-2b+c=m，求a²+b²+c²的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不等式f（x）≤3等价于m-3≤x≤m+3，利用不等式f（x）≤3的解集为[-1，5]，建立方程组，即可求实数m的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a-2b+c=2，再利用柯西不等式求得a²+b²+c²的最小值．

解答 解：（Ⅰ）|x-m|≤3?-3≤x-m≤3?m-3≤x≤m+3，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{m-3=-1}\\{m+3=5}\end{array}\right.$，解得m=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a-2b+c=2，
由柯西不等式可得（a²+b²+c²）[1²+（-2）²+1²]≥（a-2b+c）²=4，
∴a²+b²+c²≥$\frac{2}{3}$
当且仅当$\frac{a}{1}=\frac{b}{-2}=\frac{c}{1}$，即a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{2}{3}$，c=$\frac{1}{3}$时等号成立，
∴a²+b²+c²的最小值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．