Question

18．徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为100元．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

Answer 1

分析 （1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；
（2）利用基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$，（a=b时取得等号），可得v=100千米/时，全程运输成本最小．

解答 解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为$\frac{500}{v}$，
全程运输成本为y=100×$\frac{500}{v}$+0.01v²×$\frac{500}{v}$=$\frac{50000}{v}$+5v，
故所求函数及其定义域为y=$\frac{50000}{v}$+5v，v∈（0，100]；
（2）依题意知v∈（0，100]，
故有$\frac{50000}{v}$+5v≥2$\sqrt{\frac{50000}{v}•5v}$=1000，
当且仅当$\frac{50000}{v}$=5v，即v=100时，等号成立．
故当v=100千米/时，全程运输成本最小．

点评 本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，利用基本不等式求最值．