Question

1．已知集合A={（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{y≤2}\\{x+y≥2}\end{array}\right.$}，B={（x，y）|（x+1）²+（y+1）²≤$\frac{4}{5}$}，设P（m，n）∈A，Q（s，t）∈B，则$\frac{n-t}{m-s}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 作出区域A和B，$\frac{n-t}{m-s}$表示区域A和B内的点的连线斜率，数形结合由直线和圆相切可得．

解答 解：作出区域A（如图△MNR及内部）和B（圆T即内部），
$\frac{n-t}{m-s}$表示区域A和B内的点的连线斜率，
数形结合可知当直线为图中RS时，直线斜率最小，设斜率为k，
可得直线的点斜式方程为y-1=k（x-1），化为一般式可得kx-y+1-k=0，
由直线和圆相切和点到直线的距离公式可得（$\frac{|-k+1+1-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²=$\frac{4}{5}$，
解方程可得k=$\frac{1}{2}$，或k=2，结合图象可得k=$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查简单线性规划，涉及直线和圆的位置关系，准确作图是解决问题的关键，属中档题．