Question

如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为AD₁中点
（I）求三棱锥C-PDB的体积
（II）在对角线A₁C上是否存在一点Q，使得AD₁∥平面QBD，若存在，求出

A1Q

QC

；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为AD₁中点，则V_C-PDB=C_P-BCD，求出棱锥的高和底面面积，代入棱锥体积公式即可求出答案；
（II）连接BC₁，DC₁，由线面平行的判定定理，易得AD₁∥平面BDC₁，则直线A₁C与平面BDC₁的交点即为Q，根据正方体的性质易得到

A1Q

QC

的值．

解答：解：（I）∵P为AD₁中点
故P点到底面ABCD的距离等于棱长的一半

1

2

又∵S_△BCD=

1

2

∵V_C-PDB=C_P-BCD=

1

3

•

1

2

•

1

2

=

1

12

；
（II）连接BC₁，DC₁，
∵AD₁∥BC₁，
∴AD₁∥平面BDC₁，
令A₁C∩平面BDC₁=Q
由正方体的几何特征易得A₁C⊥平面BDC₁，
且A₁Q=2QC
故

A1Q

QC

=2

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定与性质，三棱锥的体积，其中（1）的关键是利用等体积法将求三棱锥C-PDB的体积，转化为求三棱锥P-CDB的体积，（II）的关键是找到满足条件的Q点的位置．