Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M、N分别为PA、BC的中点，且PD=

2

，CD=1
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）取AD中点E，连接ME，NE，结合已知条件，由三角形中位线定理可得ME∥PD，NE∥CD，由面面平行的判定定理易判断出平面MNE∥平面PCD，再由面面平行的判定定理得到MN∥平面PCD；
（2）由已知中底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，结合正方形的性质及线面垂直的性质，可得AC⊥BD，PD⊥AC，由线面垂直的判定定理得AC⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PBD；
（3）由已知中PD⊥平面ABCD，所以PD为三棱锥P-ABC的高，求出棱锥的底面面积和高的长度，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：解：（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE，
由已知M，N分别是PA，BC的中点，
∴ME∥PD，NE∥CD
又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
所以，平面MNE∥平面PCD，（2分）
所以，MN∥平面PCD（4分）
（2）ABCD为正方形，
所以AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，（6分）
所以AC⊥平面PBD，（8分）
所以平面PAC⊥平面PBD（10分）
（3）PD⊥平面ABCD，所以PD为三棱锥P-ABC的高
三角形ABC为等腰直角三角形，
所以三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

S△ABC•PD=

1

6

（13分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中（1）的关键是得到平面MNE∥平面PCD，（2）的关键是证得AC⊥平面PBD，（3）的关键是由已知得到PD为三棱锥P-ABC的高．