Question

6．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），?x∈R，有f（-x）+f（x）=x²，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4-m）-f（m）≥8-4m，则实数m的取值范围是[2，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，由g（-x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，结合函数的单调性解不等式即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，
∵g（-x）+g（x）=f（-x）-$\frac{1}{2}$x²+f（x）-$\frac{1}{2}$x²=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）-x＜0，
故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，
故函数g（x）在（-∞，0）上也是减函数，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，
∴f（4-m）-f（m）=g（4-m）+$\frac{1}{2}$（4-m）²-g（m）-$\frac{1}{2}$m²=g（4-m）-g（m）+8-4m≥8-4m，
∴g（4-m）≥g（m），
∴4-m≤m，
解得：m≥2，
故答案为：[2，+∞）

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，构造函数利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．属于中档题．