Question

已知函数g（x）=

3

sinx-cosx，且f（x）=

3

3

g′（x）（g（x）+cosx）
（Ⅰ）当x∈[0，

π

2

]时，f（x）函数的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=

3

，b=

2

，f(A)=

3

2

，求角C．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出g（x）的导函数，把求出的导函数和g（x）代入到f（x）中，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简为一个角的正弦函数，根据x的范围求出2x-

π

6

的范围，利用正弦函数的图象可得到f（x）的值域；
（Ⅱ）根据f（A）=

3

2

，把x=A代入第一问求出的f（x）的解析式中，得到的函数值等于1，得到sin（2A-

π

6

）的值，根据A的范围得到2A-

π

6

的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，然后利用正弦定理，由a，b及求出的sinA的值即可求出sinB的值，根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数，根据三角形的内角和定理即可求出C的度数．

解答：解：（Ⅰ）由函数g（x）=

3

sinx-cosx，得到g′（x）=

3

cosx+sinx，
代入f（x）得：f(x)=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，（3分）
∵0≤x≤

π

2

，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴0≤sin(2x-

π

6

)+

1

2

≤

3

2

，
∴f（x）的值域[0，

3

2

]；（7分）
（Ⅱ）∵f(A)=

3

2

，
∴sin(2A-

π

6

)=1，
又∵0＜A＜π，∴A=

π

3

，（10分）
∵sinB=

sinA

a

•b=

2

2

，又0＜B＜

2π

3

，
∴B=

π

4

∴C=π-

π

3

-

π

4

=

5π

12

．（14分）

点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用正弦定理化简求值，是一道中档题．学生做题时时刻注意角度的范围．