Question

正方形ABCD被两垂直线段EF，GH分割为四个小矩形，P是EF和GH的交点．若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，则∠HAF的大小是

 

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Answer 1

考点：进行简单的演绎推理

专题：立体几何

分析：作出辅助线BM，AM，FH，把求∠HAF的大小转化为求其全等三角形的对应角∠MAF的底数．

解答： 解：如图，连结FH，延长CB到M，使BM=DH，连结AM，

∵Rt△ABM≌Rt△ADH，
∴AM=AH，∠MAB=∠HAD，
∴∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°，
设正方形的边长为a，AG=m，GP=n，则FC=a-n，CH=a-m，
由矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍得：a²-（m+n）a+mn=2mn，
在Rt△FCH中，FH²=（a-n）²+（a-m）²，
∴FH²=FM²=（m+n）²，即FH=MF，
∵AF=AF，AH=AM，
∴△AMF≌△AHF，
∴∠MAF=∠HAF=45°，
故答案为：45°

点评：本题考查的知识点是全等三角形的证明，考查了正方形对边平行且各内角均为直角的性质，构造△DAH的全等三角形△BAM并进行证明，是解答的关键．