已知双曲线x2﹣y2=1的左、右顶点分别为A1、A2,动直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2).
(1)求k的取值范围,并求x2﹣x1的最小值;
(2)记直线P1A1的斜率为k1,直线P2A2的斜率为k2,那么k1•k2是定值吗?证明你的结论.
考点:
圆与圆锥曲线的综合.
专题:
综合题.
分析:
(1)由l与圆相切,知m2=1+k2,由,得(1﹣k2)x2﹣2mkx﹣(m2+1)=0,所以由此能求出k的取值范围和x2﹣x1的最小值.
(2)由已知可得A1,A2的坐标分别为(﹣1,0),(1,0),,=.由此能证明k1•k2是定值.
解答:
解:(1)∵l与圆相切,∴∴m2=1+k2(2分)
由,得(1﹣k2)x2﹣2mkx﹣(m2+1)=0,∴,∴k2<1,∴﹣1<k<1,故k的取值范围为(﹣1,1).(5分)
由于,
∵0≤k2<1∴当k2=0时,x2﹣x1取最小值.(7分)
(2)由已知可得A1,A2的坐标分别为(﹣1,0),(1,0),
∴,∴=(10分)
==
==,
由m2﹣k2=1,∴为定值.(14分)
点评:
本题主要考查椭圆标准方程,简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,双曲线的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.
科目:高中数学 来源:2011-2012学年江苏省无锡市江阴市成化中学高二(上)周练数学试卷(7)(解析版) 题型:填空题
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