Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2．
（1）求证：SA⊥CD；
（2）求异面直线SB与CD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由线面垂直的性质可得CD⊥SD，结合正方形的性质可得CD⊥AD，可判CD⊥平面SDA，可得结论；
（2）可得∠SBA或其补角是异面直线SB与CD所成角，在直角△SAB中可得tan∠SBA的值，由反三角函数可得．

解答：解：（1）∵SD⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴CD⊥SD，
又∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
又SD∩AD=D，∴CD⊥平面SDA，
又∵SA⊆平面SDA，∴SA⊥CD
（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB‖CD，
∴∠SBA或其补角是异面直线SB与CD所成角，
由（1）知BA⊥平面SDA，∴△SAB是直角三角形
∴tan∠SBA=

SA

AD

=

2 2

2

=

2

，
∴∠SBA=arctan

2

，
故异面直线SB与CD所成角的大小为arctan

2

．

点评：本题考查异面直线所成的角，涉及线面垂直的判定定理和反三角函数的应用，属中档题．