Question

【题目】已知函数(为自然对数的底数).

（1）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围；

（2）当时，函数在上是否存在极值?若存在，请求出这个极值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）利用参变分离转化为对应函数最值问题，再利用导数研究对应函数最值，即得结果，（2）利用导数研究函数单调性，根据单调性确定函数极值是否存在.

（1）∵对于任意实数恒成立，

∴若，则为任意实数时，恒成立；

若 恒成立，即，在上恒成立，

设，则，

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减；

所以当时，取得最大值，，

所以的取值范围为.

综上，对于任意实数恒成立的实数的取值范围为.

（2）依题意，，

所以，

设，则，当，

故在上单调增函数，因此在上的最小值为，

即，

又所以在上，，

所以在上是增函数，

即在上不存在极值.