Question

在直角梯形CDEF中，DC⊥CF，DC∥EF，CD=CF=2EF=2．将它绕CD旋转得到CDBA，使得平面CDBA⊥平面CDEF．
（1）若点M是ED的中点，证明：BM∥平面ACE；
（2）求AE与平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）设CE的中点为N，连结MN，由已知条件推导出四边形ABMN是平行四边形，由此能证明BM∥平面ACE．
（Ⅱ）以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与平面BED所成角的正弦值．

解答： （1）证明：设CE的中点为N，连结MN，
∵M是DE的中点，∴MN∥CD，且MN=

1

2

CD，
又∵CD∥EF，∴CD∥AB，
∴NM∥AB，NM=AB，
∴四边形ABMN是平行四边形，
∴BM∥AN，∵AN?平面ACE，BM不包含于平面ACE，
∴BM∥平面ACE．
（Ⅱ）∵面CDBA⊥面CDEF，且AC⊥CD，
∴AC⊥面CDEF，
以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，2），E（2，1，0），D（0，2，0），B（0，1，2），
∴

AE

=（2，1，-2），

ED

=（-2，1，0），

DB

=（0，-1，2），
设平面BDE的法向量

n

=（x₀，y₀，z₀），
则

n • ED =-2x0+y0=0 n • DB =-y0+2x0=0

，解得

x0= y0 2 z0= y0 2

，∴

n

=(1，2，1)，
∴cos＜

AE

，

n

＞=

2+2-2

9 • 6

=

6

9

．
∴AE与平面BED所成角的正弦值为

6

9

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．