Question

如图，BC为圆O的直径，D为圆周上异于B、C的一点，AB垂直于圆O所在的平面，BE⊥AC于点E，BF⊥AD于点F．
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACD；
（Ⅱ）若AB=BC=2，∠CBD=45°，求平面BEF与平面BCD所成锐角二面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出CD⊥BD，AB⊥CD，从而得到CD⊥平面ABD，由此能证明BF⊥平面ACD．
（Ⅱ）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BEF与平面BCD所成锐角二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵BC是圆O的直径，∴CD⊥BD，
∵AB⊥圆O所在的平面，∴AB⊥CD，且AB∩BD=B，
∴CD⊥平面ABD，
又∵BF⊥AD，且AD∩CD=D，
∴BF⊥平面ACD．（6分）
（Ⅱ）如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，
∵AB=BC=2，∠CBD=45°，
∴B（0，-1，0），E（0，0，1），D（1，0，0），A（0，-1，2），
∵BF⊥AD，∴DF=

BD2

AD

=

6

3

=

1

3

AD，
∴

DF

=

1

3

DA

，∴点F（

2

3

，-

1

3

，

2

3

），
设平面BEF与平面BCD所成锐角二面角为θ，
则cosθ=

S△BCD

S△BEF

=

1 3

2 3

=

2

2

．
∴平面BEF与平面BCD所成锐角二面角的余弦值为

2

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．