Question

已知函数f（x）=

(cosx-sinx)sin2x

cosx

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[

π

24

，

11π

24

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，化简函数的表达式，利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间即可．
（Ⅱ）通过x满足[

π

24

，

11π

24

]求出相位的范围，利用正弦函数的值域，求解函数的最大值和最小值．

解答： （本小题满分14分）
解：f（x）的定义域为{x|x≠kπ+

π

2

，x∈R}k∈Z．k∈Z，f（x）=

(cosx-sinx)sin2x

cosx

=sin2x-2sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)-1     …（4分）
（I）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3

2

π且x≠kπ+

π

2

，k∈Z解得，2kπ+

π

4

≤2x≤2kπ+

5

4

π，即  kπ+

π

8

≤x≤kπ+

3

8

π，x≠kπ+

π

2

，k∈Z
所以，f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

8

，kπ+

π

2

)，(kπ+

π

2

，kπ+

5π

8

]，k∈Z…（8分）
（II）由x∈[

π

24

，

11π

24

]，可得2x+

π

4

∈[

π

3

，

7π

6

]
当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，f（x）_max=f（

π

8

）=

2

-1．
当2x+

π

4

=

7π

6

，即x=

11π

24

时，f（x）_min=f（

11π

24

）=-

2

2

-1…（14分）

点评：本题考查三角函数的最值以及三角函数的化简与应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．