Question

如图，直线AB经过⊙O上一点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于点E、D．
（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若tan∠CED=

1

2

，⊙O的半径为6，求OA的长．

Answer 1

考点：弦切角,圆的切线的判定定理的证明

专题：立体几何

分析：（I）利用等腰三角形的性质和切线的定义即可证明；
（II）利用圆的性质可得

CD

EC

=

1

2

．再利用切线的性质可得△CBD∽△EBC，于是

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

．设BD=x，BC=2x，利用切割线定理可得BC²=BD•BE，代入解出即可．

解答： （Ⅰ）证明：如图，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线．
（Ⅱ）∵ED是直径，∴∠ECD=90°，
在Rt△BCD中，∵tan∠CED=

1

2

，∴

CD

EC

=

1

2

．
∵AB是⊙O的切线，
∴∠BCD=∠E．
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△CBD∽△EBC，∴

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

．
设BD=x，BC=2x，
又BC²=BD•BE，∴（2x）²=x•（x+12）．
解得：x₁=0，x₂=4，
∵BD=x＞0，∴BD=4．
∴OA=OB=BD+OD=4+6=10．

点评：本题考查了等腰三角形的性质、切线的定义、圆的性质、相似三角形的性质、切割线定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．