Question

已知点A（0，2）和B（0，-2），过点A的直线与过点B的直线交于点P，若直线PA、PB的斜率之积为1．
（1）求动点P的轨迹方程C；
（2）设点D为点A关于直线y=x的对称点，过点D的直线l交曲线C于x轴下方两个不同的点E、F，设过定点B与EF的中点M的直线交x轴于点Q（x₀，0），求x₀的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设动点P（x，y），得k_PA•k_PB=

y-2

x

•

y+2

x

=1，由此能求出动点P的轨迹方程．
（2）设直线l的方程为x=my+2，代入y²-x²=4，x≠0，得：（1-m²）y²-4my-8=0，由此能求出x₀的取值范围．

解答： 解：（1）设动点P（x，y），
∵点A（0，2）和B（0，-2），
∴k_PA•k_PB=

y-2

x

•

y+2

x

=1，x≠0，
∴y²-x²=4，x≠0．
∴动点P的轨迹方程C：y²-x²=4，x≠0．
（2）设直线l的方程为x=my+2，
代入y²-x²=4，x≠0，得：（1-m²）y²-4my-8=0，
依题意，得：1-m²≠0，△=16m²+32（1-m²）＞0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
y1+y2=

4m

1-m2

＜0，y1y2=

-8

1-m2

＞0，
解得1＜m＜

2

，
点M的坐标（x_M，y_M），yM=

y1+y2

2

=

2m

1-m2

，xM=m•

2m

1-m2

+2=

2

1-m2

，
直线BM的方程为：y+2=（-m²+m+1）x，
令y=0，∵m∈（1，

2

），
∴x0=

2

-m2+m+1

=

2

-(m- 1 2 )2+ 5 4

∈（2，2+2

2

）．

点评：本题考查动点的轨迹的求法，考查点的横坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．