Question

如图，已知三角形△ABC与△BCD所在平面相互垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点P，Q分别在线段BD，CD上，沿直线PQ将△PQD向上翻折，使D与A重合．

（Ⅰ）求证：AB⊥CQ；
（Ⅱ）求BP的长；
（Ⅲ）求直线AP与平面BCD所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）由已知中面ABC⊥面BCQ，及=∠BCD=90°，我们根据面面垂直的性质定理，我们易得CQ⊥面ABC，进而根据线面垂直的定义，即可得到AB⊥CQ；
（Ⅱ）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥平面BCQ，连接OP，利用AP=DP，即可求BP的长；
（Ⅲ）由（I）知AO⊥平面BCD，可得∠APO是直线AP与平面BCD所成的角．

解答： （I）证明：∵面ABC⊥面BCQ
又CQ⊥BC
∴CQ⊥面ABC
∴CQ⊥AB；
（Ⅱ）解：作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥平面BCQ，连接OP，
设AB=4，则BD=2，设BP=x，
由题意AP=DP，∴(

2

2

)2+x2-2×

2

2

×xcos45°+(

2

2

)2=(2-x)2，
∴x=1；
（Ⅲ）解：由（I）知AO⊥平面BCD，
∴∠APO是直线AP与平面BCD所成的角，
∴∠APO=45°，
∴直线AP与平面BCD所成的角为45°．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．