Question

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PD⊥平面ABCD，AB=2CD，PD=AD=CD=1．
（1）求AD与PB所成角的大小；
（2）求AB与面PBD所成角的大小；
（3）求面PAD与面PBC所成锐二面角的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）以D为原点，以DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与PB所成角．
（2）求出平面PBD的法向量，由此能求出AB与面PBD所成角的大小．
（3）求出面PAD的法向量和面PBC的法向量，利用向量法能求出面PAD与面PBC所成锐二面角的正切值．

解答： 解：（1）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，
PD⊥平面ABCD，AB=2CD，PD=AD=CD=1，
∴DA、DB、DP两两垂直，
以D为原点，以DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），D（0，0，0），P（0，0，1），
B（0，

3

，0），C（-

1

2

，

3

2

，0）

DA

=(1，0，0)，

PB

=(0，

3

，-1)，
设AD与PB所成角为θ，
cosθ=|＜

DA

，

PB

＞|=|

0

2

|=0，
∴AD与PB所成角为90°．
（2）∵平面PBD的法向量

n

=（1，0，0），

BA

=(1，-

3

，0)，
设AB与面PBD所成角为α，
则sinα=|cos＜

BA

，

n

＞|=|

1

2

|=

1

2

，
∴α=30°，
∴AB与面PBD所成角为30°．
（3）面PAD的法向量

m

=(0，1，0)，

PC

=(-

1

2

，

3

2

，-1)，

PB

=(0，

3

，-1)，
设面PBC的法向量

p

=(x，y，z)，
则

p • PB = 3 y-z=0 p • PC =- 1 2 x+ 3 2 y-z=0

，
取y=

3

，得

p

=(-3，

3

，3)，
设面PAD与面PBC所成锐二面角的平面角为β，
cosβ=|cos＜

m

，

p

＞|=|

3

21

|=

7

7

．
sinβ=

1- 1 7

=

42

7

，
∴tanβ=

6

．
∴面PAD与面PBC所成锐二面角的正切值是

6

．

点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查直线与平面所成角的大小的求法，考查二面角的正切值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．