Question

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求O点到面ABC的距离；
（2）求异面直线BE与AC所成的角的余弦值；
（3）求二面角E-AB-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：几何法：
（1）取BC的中点D，连AD、OD，过O点作OH⊥AD于H，由已知条件推导出OH的长就是所要求的距离．由此能求出O点到面ABC的距离．
（2）取OA的中点M，连EM、BM，则EM∥AC，∠BEM是异面直线BE与AC所成的角．由此能求出异面直线BE与AC所成的角的余弦值．
（3）连结CH并延长交AB于F，连结OF、EF．∠EFC就是所求二面角的平面角．由此能求出二面角E-AB-C的余弦值．
向量法：
（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出点O到面ABC的距离．
（2）

EB

=(2，-1，0)，

AC

=(0，2，-1)，利用向量法能求出异面直线BE与AC所成的角的余弦值．
（3）分别求出平面EAB的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角E-AB-C的余弦值．

解答： （本小题满分14分）
几何法：
解：（1）取BC的中点D，连AD、OD，
∵OB=OC，则OD⊥BC、AD⊥BC，
∴BC⊥面OAD．过O点作OH⊥AD于H，
则OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离．
BC=2

2

，OD=

OC2-CD2

=

2

．
∵OA⊥OB、OA⊥OC，∴OA⊥面OBC，
则OA⊥OD.AD=

OA2+OD2

=

3

，
在直角三角形OAD中，有OH=

OA•OD

AD

=

2

3

=

6

3

．…（4分）
（2）取OA的中点M，连EM、BM，则EM∥AC，
∠BEM是异面直线BE与AC所成的角．
∵OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点，
∴EM=

1

2

AC=

5

2

，BE=

OB2-OE2

=

5

，
BM=

OM2+OB2

=

17

2

，
cos∠BEM=

BE2+ME2-BM2

2BE•ME

=

2

5

，
∴异面直线BE与AC所成的角的余弦值是

2

5

．…（8分）
（3）连结CH并延长交AB于F，连结OF、EF．
∵OC⊥面OAB，∴OC⊥AB．又∵OH⊥面ABC，∴CF⊥AB，EF⊥AB，
则∠EFC就是所求二面角的平面角．
作EG⊥CF于G，则EG=

1

2

OH=

6

6

．
在直角三角形OAB中，OF=

OA•OB

AB

=

2

5

，
在直角三角形OEF中，EF=

OE2+OF2

=

1+ 4 5

=

3

5

，
∴sin∠EFG=

EG

EF

=

6 6

3 5

=

30

18

．
∴cos∠EFG=

1-( 30 18 )2

=

7 6

18

，
∴二面角E-AB-C的余弦值为

7 6

18

．…（14分）
向量法：
解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）．
设平面ABC的法向量为

n1

=(x，y，z)，
则由

n1

⊥

AB

知：

n1

•

AB

=2x-z=0；
由

n1

⊥

AC

知：

n1

•

AC

=2y-z=0．取

n1

=(1，1，2)，
则点O到面ABC的距离为d=

| n1 • OA |

| n1 |

=

2

1+1+4

=

6

3

．…（4分）
（2）

EB

=(2，-1，0)，

AC

=(0，2，-1)，
cos＜

EB

，

AC

＞=

-2

5 • 5

=-

2

5

，
∴异面直线BE与AC所成的角的余弦值是

2

5

．…（8分）
（3）设平面EAB的法向量为

n

=(x，y，z)，
则由

n

⊥

AB

知：

n

•

AB

=2x-z=0；
由

n

⊥

EB

知：

n

•

EB

=2x-y=0．取

n

=(1，2，2)．
由（1）知平面ABC的法向量为

n1

=(1，1，2)．
则cos＜

n

，

n1

＞=

n • n1

| n || n1 |

=

1+2+4

9 • 6

=

7

3 6

=

7 6

18

．
结合图形可知，二面角E-AB-C的余弦值为

7 6

18

．
∴二面角E-AB-C的余弦值为

7 6

18

．…（14分）

点评：本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．