Question

A，B是焦点为F的抛物线y²=4x上的两动点，线段AB的中点M在直线x=t（t＞0）上．
（1）当t=1时，求|FA|+|FB|的值．
（2）当M（2，2）时，求直线AB的方程．
（3）记|AB|的最大值为g（t），求g（t）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：

分析：（1）利用椭圆的定义及线段AB的中点M在定直线x=t （t＞0）上，可求|FA|+|FB|的值．
（2）利用点差法能求出直线AB的方程．
（3）设直线AB的方程为x-t=

m

2

（y-m），将直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|AB|的表达式，最后利用二次函数的性质即可求出其最大值，从而解决问题．

解答： 解：（1）y²=4x的焦点坐标是F（1，0），准线方程是x=-1
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1
∴|FA|+|FB|=（x₁+x₂）+2
∵线段AB的中点M在定直线x=t （t＜0）上
∴x₁+x₂=2t，
∴|FA|+|FB|=2t+2；
∵t=1，∴|FA|+|FB|=4．
（2）∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（2，2），
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=4，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入y²=4x，得：

y12=4x1 y22=4x2

，两式相减，得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），k=

y1-y2

x1-x2

=1，
∴直线AB的方程：y-2=x-2，即y=x．
（3）由

y12=4x1 y22=4x2

，得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴

x1-x2

y1-y2

=

y1+y2

4

=

m

2

故可设直线AB的方程为x-t=

m

2

（y-m）
即x=

m

2

y-

m2

2

+t，
联立

x= m 2 y- m2 2 +t y2=4x

，消去x得y²-2my+2m²-4t=0，
y₁+y₂=2m，y₁y₂=2m²-4t，
∴|AB|=

(1+ m2 4 )(4m2-8m2+16t)

=

4(t+1)2-[m2-2(t-1)]2

，
∵△=-4m²+16t＞0，∴0≤m²＜4t，
∴g（t）=|AB|_max=

4(t+1)2

=2t+2．

点评：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．