Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．
（1）求证：BG⊥平面PAD；
（2）求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值；
（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结BD，由正三角形性质的BG⊥AD，由此能证明BG⊥平面PAD．
（2）以G为原点，建立空间直角坐标系G-xyz，由此能求出平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值．
（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD．取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H，由已知条件得四边形CDGE为平行四边形，由此能证明平面DEF⊥平面ABCD．

解答： （本小题满分14分）
（1）证明：连结BD．
因为ABCD为棱形，且∠DAB=60°，
所以△ABD为正三角形．（1分）
又G为AD的中点，所以BG⊥AD．（2分）
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，（3分）
∴BG⊥平面PAD．（4分）
（2）解：∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD．
∵PG?平面PAD，由（1）得：PG⊥GB．又由（1）知BG⊥AD．
∴PG、BG、AD两两垂直．（5分）
故以G为原点，建立如图所示空间直角坐标系G-xyz，
PG=PDcos30°=

3

，GB=ABsin60°=

3

，（6分）
所以G（0，0，0），D（0，1，0），P(0，0，

3

)，C(

3

，2，0)，

PD

=(0，1，-

3

)，

PC

=(

3

，2，-

3

)（7分）
设平面PCD的法向量为

n

=(x，y，z)，
∴

n • PD =0 n • PC =0

，即

y- 3 z=0 3 x+2y- 3 z=0

令z=1，则x=-1，y=

3

，∴

n

=(-1，

3

，1)，（8分）
又平面PBG的法向量为

AD

=（0，2，0），（9分）
设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为θ，则
∴cosθ =

n • AD

| n |•| AD |

=

2 3

2 5

=

15

5

即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为

15

5

．（10分）
（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD．（11分）
取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H．
因为E、G分别为BC、AD的中点，
∴四边形CDGE为平行四边形，
∴H为CG的中点．又F为CP的中点，∴FH∥PG．（12分）
由（2），得PG⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD．（13分）
又FH?平面DEF，∴平面DEF⊥平面ABCD．（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．