Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（文）（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点，试问X轴上是否存在定点P，使PF平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，由△MNF为正三角形解得b=

3

，a²=b²+1=4，由此可求椭圆方程．
（Ⅱ）设线AB的方程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理，结合PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，建立方程，即可求得结论．

解答： 解：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，
因为△MNF为正三角形
所以|OF|=

3

2

|MN|，即1=

3

2

•

2

3

，
解得b=

3

，a²=b²+1=4，
因此，椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+1．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得（3m²+4）y²+6my-9=0．
所以△＞0，y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

．
若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k_PA+k_PB=0．
设P（a，0），则有kPA=

y1

x1-a

，kPB=

y2

x2-a

，

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=0，
将x₁=my₁+1，x₂=my₂+2代入上式，
整理得

2my1y2+(1-a)(y1+y2)

(my1+1-a)(my2+1-a)

，
所以 2my₁y₂+（1-a）（y₁+y₂）=0．
将y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

代入上式，整理得（6a-24）•m=0．
由于上式对任意实数m都成立，所以a=4．
综上，存在定点P（4，0），使PM平分∠APB．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查存在性问题的探究，属于中档题．