Question

已知a、b是两个不相等的正数，且满足a³-b³=a²-b²，求所有可能的整数c，使c=9a•b．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意及立方差公式的展开形式可得出a²+ab+b²=a+b的值，然后可求出ab与a+b的关系式，结合基本不等式即可得出答案．

解答： 解：∵a³-b³=a²-b²，
∴（a-b）（a²+ab+b²）=（a-b）（a+b）
∵a，b为不相等的两正数
∴a²+ab+b²=a+b，
∴（a+b）²-（a+b）=ab，
又0＜ab＜

(a+b)2

4

，
∴0＜（a+b）²-（a+b）＜

(a+b)2

4

，
解得，1＜a+b＜

4

3

，
令t=a+b，则（a+b）²-（a+b）=t²-t．
∵y=t²-t的图象是开口朝上，且以直线t=

1

2

为对称轴的抛物线，
故y=t²-t在（1，

4

3

）上递增，
故t²-t∈（0，

4

9

），
即ab=（a+b）²-（a+b）∈（0，

4

9

），
∴c=9a•b∈（0，4），
故满足条件的整数c∈{1，2，3}

点评：本题考查基本不等式、立方公式的应用，难度不大，注意掌握立方公式的特点结合完全平方式是解答本题的关键．