Question

已知集合A₁={z|z

.

z

+3i（

.

z

-z）+5=0，z∈C}，集合A₂={ω|ω=2iz，z∈A₁}，当z₁∈A₁，z₂∈A₂时，求|z₁-z₂|的最大值与最小值．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：由复数的运算可得两集合均为圆上的点，由圆的几何知识可得．

解答： 解：设复数z=x+yi，其中x，y为实数，
根据z

.

z

+3i（

.

z

-z）+5=0可得x²+y²+3i（-2yi）+5=0
即x²+y²+6y+5=0，即x²+（y+3）²=4
A₁表示以（0，-3）为圆心2为半径的圆上的点，
又w=2iz=-2y+2xi，设w=x′+y′i
则x′=-2y，y′=2x，即x=

y′

2

，y=-

x′

2

，
把x和y代入上述圆的方程可得y′²+x′²-12x′+20=0，
配方可得（x′-6）²+y′²=16，
也表示一个圆，圆心为（6，0）半径为4，
∴A₂表示以（6，0）为圆心4为半径的圆上的点，
可得两圆心之间的距离为

62+(-3)2

=3

5

，
可得3

5

＞2+6，故两圆相离，
|z₁-z₂|表示两个圆上的点的距离，
显然最大值为圆心距加上两个半径和6+3

5

，
最小值为圆心距减掉两个半径和3

5

-6

点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，涉及复数的几何意义，属中档题．