Question

如图，已知AB是圆柱OO₁底面圆O的直径，底面半径R=1，圆柱的表面积为8π；点C在底面圆O上，且∠AOC=120°．
（1）求三棱锥A-A₁CB的体积；
（2）求异面直线A₁B与OC所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间角

分析：（1）由题意圆柱OO₁的表面积为8π，OA=1，∠AOC=120°建立关于圆柱高的方程求出AA₁=3，即得棱锥的高，再由∠AOP=120°解出解出底面积，再棱锥的体积公式求体积即可．
（2）取AA₁中点Q，连接OQ，CQ，可得∠COQ或它的补角为异面直线A₁B与OC所成的角，在三角形COQ中求异面直线所成的角即可．

解答： 解：（1）设AA₁=h，∵底面半径R=1，圆柱的表面积为8π，
∴2π×1²+2πh=8π，解得h=3．
∵点C在底面圆O上，且∠AOC=120°，AB是圆柱OO₁底面圆O的直径，
∴AB=2，BC=1，AC=

3

，∠ACB=90°，
∴S△ACB=

1

2

×2×

3

=

3

，
∴三棱锥A-A₁CB的体积V=

1

3

×h×S△ACB=

3

．
（2）取AA₁中点Q，连接OQ，CQ，则OQ∥A₁B，
得∠COQ或它的补角为异面直线A₁B与OC所成的角．
又AC=

3

，AQ=

1

2

AA1=

3

2

，得OQ=

1

2

A1B=

1

2

9+4

=

13

2

，
CQ=

9 4 +3

=

21

2

，OC=1，
由余弦定理得cos∠COQ=

CO2+OQ2-CQ2

2CO•OQ

=

1+ 13 4 - 21 4

2×1× 13 2

=-

13

13

，
∴异面直线A₁B与OP所成的角为arccos

13

13

．

点评：本题考查了求三棱锥的体积与求两异面直线所成的角，在圆柱这一背景下，考查这两个问题方式比较新颖，解答本题关键是正确理解这些几何图形之间的位置关系的转化．