Question

设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A-C）+cosB=

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2

，
（1）B=60°，判断三角形形状；       
（2）b²=ac，求角B．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）将cosB的值代入已知等式，利用特殊角的三角函数值确实出A与C的关系，即可做出判断；
（2）已知等式b²=ac利用正弦定理化简，将A+C=π-B代入cos（A-C）+cosB=

3

2

，利用和差化积公式变形，将sinAsinC=sin²B代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．

解答： 解：（1）将B=60°代入cos（A-C）+cosB=

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2

，得：cos（A-C）=1，
∴A-C=0，即A=C=60°，
则△ABC为等边三角形；
（2）将b²=ac利用正弦定理化简得：sin²B=sinAsinC，
已知等式变形得：cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC=

3

2

，即sinAsinC=

3

4

，
∴sin²B=sinAsinC=

3

4

，即sinB=

3

2

，
∵b不为最大边，即cosB＞0，
∴B=60°．

点评：此题考查了正弦定理，和差化积公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．