Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CD上．
（Ⅰ）求证：EB₁⊥AD₁；
（Ⅱ）若E是CD中点，求EB₁与平面AD₁E所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结BC₁，B₁C，由正方形性质得B₁C⊥BC₁，由线面垂直得BC₁⊥DC，所以BC₁⊥平面DCB₁，由AD₁∥BC₁，得AD₁⊥平面DCB₁，由此能证明EB₁⊥AD₁．
（Ⅱ）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出EB₁与平面AD₁E所成的角．

解答： （Ⅰ）证明：连结BC₁，B₁C，交于点O，
∵BCC₁B₁是正方形，∴B₁C⊥BC₁，
又DC⊥平面BCC₁B₁，∴BC₁⊥DC，
∵DC∩B₁C=C，
∴BC₁⊥平面DCB₁，
∵AD₁∥BC₁，∴AD₁⊥平面DCB₁，
∵EB₁?平面DCB₁，∴EB₁⊥AD₁．
（Ⅱ）解：以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E是CD中点，
则A（2，0，0），D₁（0，0，2），
E（0，1，0），B₁（2，2，2），

AD1

=(-2，0，2)，

AE

=(-2，1，0)，

EB1

=(2，1，2)，
设平面AD₁E的法向量

n

=(x，y，z)，
则

AD1 • n =-2x+2z=0 AE • n =-2x+y=0

，取x=1，得

n

=(1，2，1)，
设EB₁与平面AD₁E所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

EB1

，

n

＞|=|

2+2+2

6 • 9

|=

6

3

．
∴EB₁与平面AD₁E所成的角为arcsin

6

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．