Question

已知f（x）=e^x-ax-1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）在（-∞，0]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导函数，令导数大于0，解出x，可得函数的单调递增区间；
（2）由题意知，f（x）在（-∞，0]上单调递减，等价于e^x-a≤0即a≥e^x在（-∞，0]上恒成立．由于y=e^x在（-∞，0]上为增函数，得到函数的最大值是1，则a≥1．同理得到，f（x）在[2，+∞）上单调递增时，a≤e²．从而求出a的范围．

解答： 解：f′（x）=e^x-a．
（1）若a≤0，f′（x）=e^x-a＞0恒成立，即f（x）在R上递增．
若a＞0，e^x-a＞0，∴e^x＞a，x＞lna．
∴f（x）的递增区间为（lna，+∞）．
（2）由题意知，若f（x）在（-∞，0]上单调递减，
则e^x-a≤0在（-∞，0]上恒成立．
∴a≥e^x在（-∞，0]上恒成立．
∵y=e^x在（-∞，0]上为增函数．
∴x=0时，y=e^x最大值为1．∴a≥1．
同理可知，e^x-a≥0在[2，+∞）上恒成立．
∴a≤e^x在[2，+∞）上恒成立．
∵y=e^x在[2，+∞）上为增函数．
∴x=2时，y=e^x最小值为e²．∴a≤e²，
综上可知，当1≤a≤e²时，
满足f（x）在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导是关键．