Question

有一海湾，海岸线近似为椭圆的一段弧NM，M、N为椭圆弧上两点，且MA⊥AB，NB⊥AB，AB间的距离为2公里，椭圆焦点为A、B，椭圆的短半轴长为

3

公里，在A、B处分别有甲、乙两个化工厂，AB的中点为O．准备在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素影响，化工厂对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比（比例系数都为正常数m），与距离的平方成反比（比例系数都为正常数n），又知化工厂甲排出的废气浓度是化工厂乙的8倍，已知化工厂乙排出的废气浓度为d（d为常数，0＜d＜1），设度假树P距离甲化工厂x公里，度假村P受到甲、乙两化工厂的污染程度之和记为f（x）．
（1）求f（x）的表达式并求定义域；
（2）度假村P距离甲化工厂多少时，甲、乙两化工厂对度假村的废气污染程度和最小？

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）由点P在椭圆上，知|PA|+|PB|=4，设|PA|=x，则|PB|=4-x，由此可得P点受甲化工厂污染程度、受乙化工厂污染程度，即可求得污染程度和；
（2）令f（x）=

8dmn

x2

+

dmn

(4-x)2

，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值．

解答： 解：（1）由点P在椭圆上，知|PA|+|PB|=4，设|PA|=x，则|PB|=4-x，
P点受甲油井污染程度为

8dmn

x2

，
P点受乙油井污染程度为

dmn

(4-x)2

，
污染程度和为f（x）=

8dmn

x2

+

dmn

(4-x)2

，定义域为[

3

2

，

5

2

]
（2）令f（x）=

8dmn

x2

+

dmn

(4-x)2

=dmn（

8

x2

+

1

(4-x)2

），
求导函数，可得f′（x）=dmn（

-16

x3

+

-2

(4-x)3

）=-2dmn（

8

x3

+

1

(4-x)3

），
令f′（x）＞0，解得x＞

8

3

．
令f′（x）＜0，解得x＜

8

3

．
故x∈[

3

2

，

5

2

]时，函数为减函数；
当x=

5

2

时，f（x）取得最小值．
即度假村距离甲化工厂

5

2

km时，度假村的废气污染程度和最小．

点评：本题考查导数的应用，考查函数思想，考查阅读能力、建模能力、运算能力．属于中档题．