Question

已知过曲线C上任意一点P作直线x=-2p（p＞0）的垂线，垂足为M，且OP⊥OM．
（1）求曲线C的方程；
（2）设A、B是曲线C上两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β为定值θ（0＜θ＜π）时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x，y），则M（-2p，y），由此能求出曲线C的轨迹方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线AB的方程为y=kx+b，x1=

y12

2p

，x2=

y22

2p

，将y=kx+b与y²=2px（p＞0），联立得ky²-2py+2pb=0，由此能求出直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．

解答： （1）解：设P（x，y），则M（-2p，y），
由OP⊥OM，得

OP

•

OM

=0，
即-2px+y²=0，
所以轨迹方程为y²=2px（x≠0，p＞0）．
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意得x₁≠x₂（否则α+β=π）且x₁，x₂≠0，
所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，
x1=

y12

2p

，x2=

y22

2p

，将y=kx+b与y²=2px（p＞0），联立消去x，
得ky²-2py+2pb=0，
由韦达定理知y1+y2=

2p

k

，y1y2=

2pb

k

，①
（i）当θ=

π

2

时，即α+β=

π

2

时，tanα•tanβ=1，
所以

y1

x1

•

y2

x2

=1，x₁x₂-y₁y₂=0，

y12y22

4p2

-y1y1=0，
所以y1y2=-4p2，由①知：

2pb

k

=4p2，
所以b=2pk，因此直线AB的方程可表示为y=k2pk，
即k（x+2P）-y=0，所以直线AB恒过定点（-2p，0）．
（Ⅱ）当θ≠

π

2

时，由α+β=θ，
得tanθ=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2p(y1+y1)

y1y2-4p2

，
将①式代入上式整理化简得：tanθ=

2p

b-2pk

，
所以b=

2p

tanθ

+2pk，
此时，直线AB的方程可表示为y=kx+

2p

tanθ

+2pk．
即k（x+2p）-（y-

2p

tanθ

）=0．
所以直线AB恒过定点（-2p，

2p

tanθ

），
所以由（i）（i）知，当θ=

π

2

时，直线AB恒过定点（-2p，0），
当θ≠

π

2

时直线AB恒过定点（-2p，

29

tanθ

）．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线恒过定点的证明，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．