Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC．
（1）求证：AC⊥BB₁；
（2）若AB=AC=A₁B=2，在棱B₁C₁上确定一点P，使二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值为

2 5

5

．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质,二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：（1）根据线面垂直的性质先证明AC⊥平面ABB₁A₁，即可证明AC⊥BB₁；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可得到结论．

解答： 解：（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因为A₁B⊥平面ABC，A₁B?平面ABB₁A₁，
所以平面ABB₁A₁⊥平面ABC，
因为平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB，AB⊥AC，
所以AC⊥平面ABB₁A₁，所以AC⊥BB₁．
（2）如图，建立以A为原点的空间直角坐标系，
则C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），
则

B1C1

=

BC

=（2，-2，0），
设

B1P

=λ

B1C1

=(2λ，-2λ，0)，λ∈[0，1]，
则P（2λ，4-2λ，2），
设平面PAB的一个法向量为

n

=（x，y，z），
因为

AP

=(2λ，  4-2λ，  2)，

AB

=(0， 2， 0)，

n • AP =0 n • AB =0

，
即

2λx+(4-2λ)y+2z=0 2y=0

，所以

z=-λx y=0

，
令x=1得

n

=（1，0，-λ），
而平面ABA₁的一个法向量是

m

=（1，0，0），
则|cos＜

n

，

m

＞|

| m • n |

| m || n |

=

1

1+λ2

=

2 5

5

，
解得λ=

1

2

，即P为棱B₁C₁的中点．

点评：本题主要考查线面垂直的判断和性质，以及二面角的应用，建立空间直角坐标系利用向量法是解决本题的关键．