Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一最大值点和最小值点分别为（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的

2

3

，然后再将所得图象向右平移

π

3

个单位长度，得到函数g（x）的图象，写出g（x）的解析式．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：先根据函数的最大和最小值求得A，进而根据最高点与最低点横坐标之间的距离求得函数的最小正周期，继而求得ω，把（0，1）点代入函数解析式求得φ．
（2）利用三角函数图象平移的法则求得g（x）的图象的解析式．

解答： 解：（1）∵y_max=2，y_min=-2，
∴A=2，
∵T=（x₀+3π）-x₀=3π，
∴

2π

ω

=6π，解得ω=

1

3

，
∵f（0）=2sinφ=1，
∴sinφ=

1

2

，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=3sin（

1

3

x+

π

6

）．
（2）将y=2sin（

1

3

x+

π

6

）图象上的所有点横坐标缩短到原来的

2

3

，得y=2sin（

1

2

x+

π

6

）的图象，
然后将所得图象向右平移

π

3

个单位长度，得到函数y=2sin

x

2

的图象，它对应的函数即为g（x）．

点评：本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数图象的平移变换．考查了学生对三角函数图象的理解和应用．