Question

观察（1）sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=

3

4

；
    （2）sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=

3

4

；
    （3）sin²6°+cos²36°+sin6°cos36°=

3

4

．
请你根据上述规律，提出一个猜想，并证明．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：三角函数的图像与性质,推理和证明

分析：观察所给的等式，等号左边是sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=

3

4

，sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=

3

4

；sin²6°+cos²36°+sin6°cos36°=

3

4

．规律应该是sin²α+cos²（30°+α）+sinαcos（30°+α）=

3

4

，写出结果．

解答： 解：由已知中的等式：
（1）sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=

3

4

；
（2）sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=

3

4

；
（3）sin²6°+cos²36°+sin6°cos36°=

3

4

．
…
归纳可得：sin²α+cos²（30°+α）+sinαcos（30°+α）=

3

4

，
理由如下：
左边=

1-cos2α

2

+

1-cos(60°+2α)

2

+sinα（

3

2

cosα-

1

2

sinα）
=

1-cos2α

2

+

1+ 1 2 cos2α- 3 2 sin2α

2

+

3

4

sin2α-

1

2

×

1-cos2α

2

=

3

4

=右边．

点评：本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．