Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，a₂=p-1（p为常数，|p|＜1，p≠0），当n≥2时，{a_n}是以p为公比的等比数列，{a_n}的前n项和S_n=a₁+a₂+…+a_n（n≥1）
（1）试问S₁，S₂，…，S_n能否构成等差数列或等比数列？
（2）设W_n=a₁S₁+a₂S₂+…+a_nS_n，证明

lim

n→∞

W_n＞

1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得an=

1，n=1 (p-1)•pn-2，n≥2

．由此得以Sn=pn-1，n∈N^*，所以S₁，S₂，…，S_n能构成等比数列，不能构成等差数列．
（2）由a_nS_n=（p-1）•p^n-2•p^n-1=（p-1）•p^2n-3=p^2n-2-p^2n-3，n≥2得W_n=1+

1-p2n

1-p2

-

1 p (1-p2n)

1-p2

，由此能证明

lim

n→∞

W_n＞

1

2

．

解答： （1）解：∵数列{a_n}的首项a₁=1，a₂=p-1（p为常数，|p|＜1，p≠0），
当n≥2时，{a_n}是以p为公比的等比数列，
∴an=

1，n=1 (p-1)•pn-2，n≥2

．
p=1时，不合题意，∴p≠1．
∴S_n=

1，n=1 1+ (p-1)(1-pn-1) 1-p ，n≥2

=

1，n=1 pn-1，n≥2

，
∴Sn=pn-1，n∈N^*
∵p为常数，|p|＜1，p≠0，
∴S₁，S₂，…，S_n能构成等比数列，不能构成等差数列．
（2）证明：∵a_nS_n=（p-1）•p^n-2•p^n-1=（p-1）•p^2n-3=p^2n-2-p^2n-3，n≥2
∴W_n=a₁S₁+a₂S₂+…+a_nS_n=1+1-p^-1+p²-p+p⁴-p³+p⁶-p⁵+…+p^2n-2-p^2n-3
=1+（p⁰+p²+p⁴+p⁶+…+p^2n-2）-（p^-1+p+p³+p⁵+…+p^2n-3）
=1+

1-p2n

1-p2

-

1 p (1-p2n)

1-p2

，
∴

lim

n→∞

W_n=1+

1- 1 q

1-q2

=1+

q-1

q-q3

=1-

1

q(1+q)

＞

1

2

．
∴

lim

n→∞

W_n＞

1

2

．

点评：本题考是等差数列和等比数列的判断，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意极限的合理运用．