Question

16．设二次函数f（x）=x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$+1（a∈R），求函数f（x）在[-1，1]上的最小值，g（a）的表达式．

Answer 1

分析 求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[-1，1]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值g（a）的表达式．

解答 解：f（x）=x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$+1=（x+$\frac{a}{2}$）²+1，对称轴为x=-$\frac{a}{2}$，
（1）若-$\frac{a}{2}$≥1，即a≤-2时，f（x）在[-1，1]上是减函数，∴g（a）=f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+2；
（2）若-1＜-$\frac{a}{2}$＜1，即-2＜a＜2时，f（x）在[-1，1]上先减后增，∴g（a）=f（-$\frac{a}{2}$）=1；
（3）若-$\frac{a}{2}$≤-1，即a＞2时，f（x）在[-1，1]上增函数，∴g（a）=f（-1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+2．
综上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{4}+a+2，a≤-2}\\{1，-2＜a＜2}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-a+2，a≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，考查不等式的性质和分类讨论的思想方法，属于中档题．