Question

7．设函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）+f（-x）≥4；
（Ⅱ）证明：f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）≥2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，化简可得|x-1|+|x+1|≥4，从而讨论以去绝对值号，从而解得；
（Ⅱ）f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）=|x-a|+|-$\frac{1}{x}-a$|=|x-a|+|$\frac{1}{x}$+a|≥|x+$\frac{1}{x}$|≥2．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，∵f（x）+f（-x）≥4，
∴|x-1|+|x+1|≥4，
当x≤-1时，-2x≥4，故x≤-2，
当-1＜x＜1时，2≥4，不成立，
当x≥1时，2x≥4，故x≥2；
综上所述，不等式f（x）+f（-x）≥4的解集为
（-∞，-2]∪[2，+∞）；
（Ⅱ）证明：∵f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）
=|x-a|+|-$\frac{1}{x}-a$|
=|x-a|+|$\frac{1}{x}$+a|
≥|x+$\frac{1}{x}$|≥2，
故f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）≥2．

点评 本题考查了绝对值不等式与绝对值函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．