Question

6．某商店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x与日销售量y之间有如下关系：

x	5	6	7	8
y	10	8	7	3

（1）求相关系数．并以此判断销售单价与日销售量之间具有怎样的线性相关关系？
（2）求x，y之间的线性回归方程；
（3）估计销售单价为多少元时，日利润最大？
（参考数据：$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}-4\overline x\overline y}$=-11，$\sum_{i=1}^4{x_i^2-4{{（\overline x）}^2}}$=5，$\sum_{i=1}^4{y_i^2-4{{（\overline y）}^2}}$=26）
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$，r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{y}_{i}^{2}-n（\overline{y}）^{2}}}$．

Answer 1

分析 （1）根据相关系数公式，求出相关系数，结合相关系数的意义，可得结论；
（2）根据已知中的数据，利用最小二乘法，可得x，y之间的线性回归方程；
（3）根据（2）中回归方程，求出日销售量，进而求出日利润，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：（1）相关系数$r=\frac{\sum _{i=14}^{4}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum _{i=1}^{4}{x}_{i}^{2}-n{（\overline{x}）}^{2}}\sqrt{\sum _{i=1}^{4}{y}_{i}^{2}-n{（\overline{y}）}^{2}}}$=$\frac{-11}{\sqrt{5×26}}$≈-0.9648．
这说明销售单价x与日销售量y是高度负相关的．
（2）由表格数据知$\overline{x}$=6.5，$\overline{y}$=7，
又∵$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}-4\overline x\overline y}$=-11，$\sum_{i=1}^4{x_i^2-4{{（\overline x）}^2}}$=5，
∴$\hat{b}$=$\frac{-11}{5}$=-2.2，
$\hat{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=7+2.2×6.5=21.3，
∴线性回归方程为$\hat{y}$=21.3-2.2x．
（3）当销售单价为x元时，利润为W=（x-4）（-2.2x+21.3）=-2.2x2+30.1x-85.2，
当x=$\frac{30.1}{2×2.2}$≈7时，日利润最大为：W=$\frac{4?-2.2?×?-85.2?-30.12}{4?-2.2?}$≈17.7．
即当销售单价为7元时，日利润最大为17.7元．

点评 本题考查的知识点是相关系数，回归方程，熟练掌握最小二乘法的计算步骤，是解答的关键．