Question

【题目】已知椭圆E：的焦距为2，一条准线方程为x=，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积；

（3）若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见证明

【解析】

（1）由焦距得c，再由准线方程结合a2=b2+c2，可得椭圆方程；（2），由题意可得kPQ=2，即直线PQ方程为y=2x，与椭圆方程联立解得|PQ|，可得四边形ABCD的面积；（3）设直线AP的斜率为k（k＜0），则直线AP方程y=k（x-2），与椭圆方程联立得P点坐标，利用直线AN斜率与AM斜率互为相反数，将k换为-k，可求N的坐标，再利用斜率计算公式即可得出PQ斜率为定值.

(1)由题意可得：，， ，

解得：，，.

椭圆的标准方程为：.

(2) ，

点关于坐标原点对称，且，

.可得直线的方程为：.

联立，解得，.

.

四边形的面积.

(3)证明：设 ， .

设直线的斜率为， ，则直线方程为：，

联立，化为：，

，解得，.

的斜率互为相反数， 直线的斜率为 ，直线方程为：.

联立，化为：，

，.

斜率为定值.