【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BC= ,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1 .
(1)求证:CD=C1D;
(2)求二面角A1﹣B1D﹣P的平面角的正弦值.
【答案】
(1)证明:连接B1A交BA1于O,
∵PB1∥平面BDA1,B1P面AB1P,面AB1P∩面BA1D=OD,
∴B1P∥OD,又O为B1A的中点,
∴D为AP中点,∴C1为A1P中点,
∴△ACD≌△PC1D,∴CD=C1D.
(2)解:∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中, ,
∴AB⊥AC,
以A1为坐标原点,以A1B1,A1C1A1A所在直线建立空间直角坐标系如图所示.
由(1)知C1为A1P中点,
∴A1(0,0,0),B1(1,0,0), ,P(0,2,0),
∴ ,
=(0,1,
),
设平面A1B1D的法向量
∵ 且
,
∴ ,取z=2,得y=﹣1,∴
,
,
设平面PB1D的法向量 ,
则 ,
,
∴ ,取x=2,得y=1,2,
∴平面PB1D的法向量
设二面角A1﹣B1D﹣P平面角为θ,
则 ,
∴
【解析】(1)连接B1A交BA1于O,由已知条件推导出△ACD≌△PC1D,由此能够证明CD=C1D;(2)以A1为坐标原点,以A1B1 , A1C1A1A所在直线建立空间直角坐标系,利用向量法能够求出二面角A1﹣B1D﹣P的正弦值.
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【题目】如图,在凸四边形ABCD中,AB=1,BC= ,AC⊥DC,CD=
AC.设∠ABC=θ.
(1)若θ=30°,求AD的长;
(2)当θ变化时,求BD的最大值.
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【题目】已知函数为定义域
上的奇函数,且在
上是单调递增函数,函数
,数列
为等差数列,
,且公差不为0,若
,则
( )
A. 45 B. 15 C. 10 D. 0
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【题目】某工厂有两台不同机器A和B生产同一种产品各10万件,现从各自生产的产品中分别随机抽取20件,进行品质鉴定,鉴定成绩的茎叶图如图所示:
该产品的质量评价标准规定:鉴定成绩达到的产品,质量等级为优秀;鉴定成绩达到
的产品,质量等级为良好;鉴定成绩达到
的产品,质量等级为合格
将这组数据的频率视为整批产品的概率.
Ⅰ
从等级为优秀的样本中随机抽取两件,记X为来自B机器生产的产品数量,写出X的分布列,并求X的数学期望;
Ⅱ
完成下列
列联表,以产品等级是否达到良好以上
含良好
为判断依据,判断能不能在误差不超过
的情况下,认为B机器生产的产品比A机器生产的产品好;
A生产的产品 | B生产的产品 | 合计 | |
良好以上 | |||
合格 | |||
合计 |
已知优秀等级产品的利润为12元
件,良好等级产品的利润为10元
件,合格等级产品的利润为5元
件,A机器每生产10万件的成本为20万元,B机器每生产10万件的成本为30万元;该工厂决定:按样本数据测算,两种机器分别生产10万件产品,若收益之差达到5万元以上,则淘汰收益低的机器,若收益之差不超过5万元,则仍然保留原来的两台机器
你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗?
附:独立性检验计算公式:
.
临界值表:
k |
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【题目】如图,已知在四棱锥中,底面
是边长为4的正方形,
是正三角形,平面
平面
,
分别是
的中点.
(1)求证:平面平面
;
(2)若是线段
上一点,求三棱锥
的体积.
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【题目】设等比数列的前
项和为
,
,且
,
,
成等差数列,数列
满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列
的前
项和为
,若对任意
,不等式
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】如图,某飞行器在4千米高空飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )
A.y= ﹣
x
B.y= x3﹣
x
C.y= x3﹣x
D.y=﹣ x3+
x
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【题目】已知椭圆E:的焦距为2
,一条准线方程为x=
,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,点P,Q在的椭圆上,且点P在第一象限.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若点P,Q关于坐标原点对称,且PQ⊥AB,求四边形ABCD的面积;
(3)若AP,BQ的斜率互为相反数,求证:PQ斜率为定值.
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