Question

【题目】如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC= ，AC⊥DC，CD= AC．设∠ABC=θ．

（1）若θ=30°，求AD的长；
（2）当θ变化时，求BD的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos∠ABC，

∴AC2=1+3﹣2 cos30°=1，

∴AC=1

在△ACD中，AD2=AC2+DC2=4AC2=4，

∴AD=2

（2）解：设AC=x，CD= x，

在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos∠ABC，

x2=4﹣2 cosθ，

∵ = ，

∴sin∠ACB= ．

在△BCD中，BD= =

= = = = ，

∵θ∈（0，π），

∴θ﹣ ∈（﹣ ， ），当θ﹣ = ，θ= 时BD取到最大值3

【解析】（1）在△ABC中，利用余弦定理可求AC，进而在△ACD中，利用勾股定理可求AD的值．（2）设AC=x，CD= x，在△ABC中，利用余弦定理可求x2=4﹣2 cosθ，利用正弦定理可得sin∠ACB= ，进而利用三角函数恒等变换的应用，余弦定理可求BD= ，结合范围θ∈（0，π），利用正弦函数的图象和性质可求BD的最大值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．