【题目】等腰△ABC中,AC=BC= ,AB=2,E,F分别为AC,BC的中点,将△EFC沿EF折起,使得C到P,得到四棱锥P﹣ABFE,且AP=BP= .
(1)求证:平面EFP⊥平面ABFE;
(2)求二面角B﹣AP﹣E的大小.
【答案】
(1)证明:在△ABC中,D为AB中点,O为EF中点.
由AC=BC= ,AB=2.
∵E、F分别为AC、BC的中点,
∴EF为中位线,得CO=OD=1,CO⊥EF
∴四棱锥P﹣ABFE中,PO⊥EF,
∵OD⊥AB,AD=OD=1,∴AO= ,
又AP= ,OP=1,
∴四棱锥P﹣ABFE中,有AP2=AO2+OP2,即OP⊥AO,…4分
又AO∩EF=O,EF、AO平面ABFE,
∴OP⊥平面ABFE,
又OP平面EFP,
∴平面EFP⊥平面ABFE
(2)解:由(1)知OD,OF,OP两两垂直,以O为原点,建立空间直角坐标系(如图):
则A(1,﹣1,0),B(1,1,0),E(0, ,0),P(0,0,1)…7分
∴ , ,
设 , 分别为平面AEP、平面ABP的一个法向量,
则 取x=1,得y=2,z=﹣1
∴ .
同理可得
由于 =0,
所以二面角B﹣AP﹣E为90°.
【解析】(1)用分析法找思路,用综合法证明.取EF中点O,连接OP、OC.等腰三角形CEF中有CO⊥EF,即OP⊥EF.根据两平面垂直的性质定理,平面PEF和平面ABFE的交线是EF,且PO⊥EF,分析得PO⊥平面ABFE.故只需根据题中条件证出PO⊥平面ABFE,即可利用面面垂直的判定定理证得平面EFP⊥平面ABFE.(2)根据第一问分析空间位置关系,可建立空间直角坐标线求得平面ABP和平面AEP的法向量的所成角,利用向量角和二面角关系,确定二面角大小.
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【题目】设f(x)=|ax﹣2|.
(1)若关于x的不等式f(x)<3的解集为(﹣ , ),求a的值;
(2)f(x)+f(﹣x)≥a对于任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PB、PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1、,AP=2,E、F依次是PB、PC的中点.
(1)求证:PB⊥平面AEFD;
(2)求直线EC与平面PAD所成角的正弦值.
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【题目】已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同直线的极坐标方程为,曲线C的参数方程为为参数,设直线l与曲线C交于A,B两点.
写出直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
已知点P在曲线C上运动,求点P到直线距离的最大值.
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【题目】某渔业公司年初用81万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用为1万元,以后每年都增加2万元,每年捕鱼收益30万元.
问第几年开始获利?
若干年后,有两种处理方案:方案一:年平均获利最大时,以46万元出售该渔船;
方案二:总纯收入获利最大时,以10万元出售该渔船问:哪一种方案合算?请说明理由.
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【题目】如图,在凸四边形ABCD中,AB=1,BC= ,AC⊥DC,CD= AC.设∠ABC=θ.
(1)若θ=30°,求AD的长;
(2)当θ变化时,求BD的最大值.
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【题目】已知函数为定义域上的奇函数,且在上是单调递增函数,函数,数列为等差数列,,且公差不为0,若,则( )
A. 45 B. 15 C. 10 D. 0
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