Question

如图所示，在三棱锥中，平面，，分别是的中点，，与交于，与交于点，连接。

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）

解法一 （Ⅰ）在中，分别是的中点，则是的重心，
同理，所以，因此
又因为是的中位线，所以.
（Ⅱ）解法1 因为 ，所以,又，
所以平面，平面，
为二面角的平面角，
不妨设由三角形知识可得
由余弦定理得
解法2分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，不妨设则
设平面的法向量为，则
，所以，令得
同理求得平面的一个法向量为，
因此
由图形可知二面角的余弦值为
解法二（Ⅰ）证明：因为分别是的中点，
所以∥,∥，所以∥，
又平面，平面，
所以∥平面，
又平面,平面平面，
所以∥，
又∥，
所以∥.
（Ⅱ）解法一：在△中, ,,
所以，即,因为平面,所以，
又，所以平面，由（Ⅰ）知∥,
所以平面，又平面，所以，同理可得，
所以为二面角的平面角，设,连接，
在△中，由勾股定理得，，
在△中，由勾股定理得，，
又为△的重心，所以
同理 ,
在△中，由余弦定理得，
即二面角的余弦值为.
解法二：在△中，,,
所以，又平面,所以两两垂直，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则,,,，,,所以,,,,
设平面的一个法向量为，
由，,
得
取，得.
设平面的一个法向量为
由，,
得
取，得.所以
因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
【考点定位】本题考查了空间直线的位置关系的判定和二面角的求法，考查了空间想象能力、推理论证能力和运算能力。第一问主要涉及平面几何的图形性质，中点形成的平行线是常考点之一，论证较为简单。第二问有两种方法可以解决，因图形结构的简洁性，推理论证较为简单，而利用空间向量运算求解二面角就相对复杂了.