Question

（本小题满分12分）w。w-w*k&s%5￥u

如图，四棱锥P—ABCD中,ABCD为矩形,△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点.

   （1）证明：EF∥面PAD；

   （2）证明：面PDC⊥面PAD；

   （3）求四棱锥P—ABCD的体积.

Answer 1

（1）如图，连接AC，

∵ABCD为矩形且F是BD的中点，w。w-w*k&s%5￥u

∴AC必经过F                        1分

又E是PC的中点，

所以，EF∥AP                          2分

∵EF在面PAD外，PA在面内，

∴EF∥面PAD             …………4分

（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，

又AP面PAD，∴AP⊥CD             …………6分

又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD      …………7分

又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD      …………8分

（3）取AD中点为O，连接PO，

因为面PAD⊥面ABCD及△PAD为等腰直角三角形，所以PO⊥面ABCD，

即PO为四棱锥P—ABCD的高  …………………………10分

∵AD=2，∴PO=1，

所以四棱锥P—ABCD的体积 ……………………12分