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在直角坐标平面XOY上的一列点A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），A₃（3，a₃），…A_n（n，a_n），…简记为{A_n}，若由 $数学公式$ 构成的数列{b_n}满足b_n+1＞b_n，（n=1，2，…，n∈N）（其中 $数学公式$ 是与y轴正方向相同的单位向量），则称{A_n}为“和谐点列”．
（1）试判断：A₁（1，1）， $数学公式$ ， $数学公式$ … $数学公式$ …是否为“和谐点列”？并说明理由．
（2）若{A_n}为“和谐点列”，正整数m，n，p，q满足：≤m＜n＜p＜q1，且m+q=n+p．求证：a_q+a_m＞a_n+a_p．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
又∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
显然b_n+1＞b_n，∴{A_n}为“和谐点列”．
（2）证明：∵A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），
∴ $\text{[math]}$ ．又因为 $\text{[math]}$ ，
∴b_n=a_n+1-a_n．
∵1≤m，且m+q=n+p．
∴q-p=n-m＞0．
∴a_q-q_p=a_q-q_q-1+a_q-1-a_q-2+…+a_p+1-a_p=b_q-1+b_q-2+…+b_p．
∵{A_n}为“和谐点列”∴b_n+1＞b_n．
∴b_q-1+b_q-2+…+b_m=（q-p）b_p．
即a_q-a_p≥（q-p）b_p．
同理可证：a_n-a_m=b_n-1+b_n-2+…+b_m≤（n-m）b_n-1．
∵b_p＞b_n-1，n-m=q-p．
∴（q-p）b_q＞（n-m）b_n-1．
∴a_q-a_p＞a_n-a_m．
∴a_q+a_m＞a_n+a_p．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，由此知{A_n}为“和谐点列”．
（2）由A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），知 $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ ，知b_n=a_n+1-a_n．由此入手能够证明a_q+a_m＞a_n+a_p．
点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意“和谐点列”的理解和合理地进行等价转化．

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在直角坐标平面xOy上的一列点A₁（1，a₁），?A₂（2，a₂），?…，?A_n（n，a_n），?…，简记为{A_n}、若由bn=

AnAn+1

•

构成的数列{b_n}满足b_n+1＞b_n，n=1，2，…，其中

为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A_n}为T点列，
（1）判断A1( 1， 1)，?A2( 2，

)，?A3( 3，

)，?…，?An( n，

)，?…，是否为T点列，并说明理由；
（2）若{A_n}为T点列，且点A₂在点A₁的右上方、任取其中连续三点A_k、A_k+1、A_k+2，判断△A_kA_k+1A_k+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若{A_n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：

AnAq

•

＞

AmAp

•

．

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在直角坐标平面XOY上的一列点A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），A₃（3，a₃），…A_n（n，a_n），…简记为{A_n}，若由bn=

AnAn+1

•

构成的数列{b_n}满足b_n+1＞b_n，（n=1，2，…，n∈N）（其中

是与y轴正方向相同的单位向量），则称{A_n}为“和谐点列”．
（1）试判断：A₁（1，1），A2(2，

)，A3(3，

)…An(n，

2n-1

)…是否为“和谐点列”？并说明理由．
（2）若{A_n}为“和谐点列”，正整数m，n，p，q满足：≤m＜n＜p＜q1，且m+q=n+p．求证：a_q+a_m＞a_n+a_p．

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在直角坐标平面xOy内，已知向量

=（1，5），

=（7，1），

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•

取得最小值时，求：（1）向量

的坐标；（2）cos∠APB的值．

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在直角坐标平面xoy上的一列点A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…，简记为{A_n}．若由bn=

AnAn+1

•

构成的数列{b_n}满足b_n+1＞b_n（其中

是y轴正方向同向的单位向量），则称{A_n}为T点列．
（1）判断A1(1，1)，A2(2，

)，A3(3，

)…，An(n，

)，…是否为T点列；
（2）若{a_n}是等差数列，判断点列A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…是否为T点列，并说明理由；
若{a_n}是等比数列，判断点列A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…是否为T点列，并说明理由；
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（2012•闵行区三模）规定：直线l到点F的距离即为点F到直线l的距离，在直角坐标平面xoy中，已知两定点F₁（-1，0）与F₂（1，0）位于动直线l：ax+by+c=0的同侧，设集合P={l|点F₁与点F₂到直线l的距离之和等于2}，Q={（x，y）|（x，y）∉l，l∈P}．则由Q中的所有点所组成的图形的面积是

．

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